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ひいら

Author:ひいら
『カードヒーロー』を
愛してやまないプレイヤーの一人。
このゲームのルールの凄さ、
素晴らしさを世界中に広めること、
それが僕の生きる意味。

このブログは、
『カードヒーロー』をメインとしながら、
デジタルに限定しない様々な遊びや、
普段考えていることを
徒然なるままに記していくブログです。

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不条理の確率

『ドロー5』
それはカードヒーローに巣くう最大で最凶の魔物。

この札を引くか引かないか。
勝負の明暗をたった1枚で分ける威力を持ったカードは
このカード(とヤミーくらい)しか存在しない。

ドロー5をデッキに積まないのは馬鹿と勇者だけの特権として、
対戦で安定して勝つことを目指すならば、
この魔物は必ずデッキに入れなくてはならない。

しかし、悲しいかなここはカードゲーム。
組み込んだカードを必ず手札に引き込めるとは限らないのが現実だ。

今回のコラムは、昔どこかで考察した気がするけれど、
検索してもなかった、そんなドロー5ゲーの確率について。

さあ、答え合わせのお時間ですよ。

プロルールのデッキは現状30枚で、
安定、あるいはメジャーと考えられているのがドロー5を2枚積み。
ここでは仮に10ターン目までにドロー5を1枚も引き込むことができない
ことをドロー5事故と呼ぼう。

10ターン後には、バトル開始時の5枚と、
10ターン間のドローによる10枚を合わせて、
山札のうち半分にあたる15枚にアクセスすることができる。
この15枚の中にドロー5がなければドロー5事故だ。

この確率はデッキに2枚投入の場合、7/29=約24%
ちなみにデッキに1枚ならば50%だし、
デッキに3枚入れておけば約11%にまで下がる。

この確率はどう計算するかと言うと、
15枚引いてもデッキに2枚入れたカードを引かない確率なので、
1枚目に引かない確率は30分の28、
2枚目に引かない確率は29分の27といったように
15枚目までの確率を順番にかけていけばよい。

具体的には、
28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
──×──×──×──×──×──×──×──×───×──×──×──×──×──×──
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16

   15×14     7
= ───── = ───
   30×29    29 となる。
(PCじゃない方ズレていたらすいません。)

分母と分子が綺麗に消えるので
おや?と思った方もいらっしゃるかもしれない。
この問題はもう少し簡単な解釈が可能だからだ。

下の図を見て欲しい。
考え方

今、30個に仕切られた横長の箱にボールをランダムに投げ込んで行く。
そのボールに書かれたカードが、左から順に手札に入ってくると考える。
ドロー5事故が起こる確率は、ドロー5と書かれたボールが
すべて右側の赤いゾーンに入ってしまった場合の確率に他ならない。
右半分、すなわち16枚目以降に該当する箇所にドロー5があれば
15枚目までのドロー5を引くことはできない。
こうなる確率は、ドロー5が2枚ならば、
2つのボールがともに赤いゾーンに落ちる確率なので、
(30分の15)×(29分の14)となり、先ほどの答えと一致する。

同様にデッキに1枚しか入れていなければ
たった一つ、ドロー5と書かれたボールが
左側に落ちるか右側に落ちるかの運試しとなり、
半々の50%で事故になることがわかる。
3枚ならば(15分の30)×(29分の14)×(28分の13)で約11%。

このように、ドロー5を1枚増やすごとに
ドロー5事故率は概ね半々になっていく。
実際は、中盤までにちょうど1枚引くことが望ましく、
2枚以上引いてしまった場合には別の意味で事故となるのだが、
10ターン目までに「ちょうど1枚引く」確率を計算すると
ドロー5を2枚積んでいるタイプが最も事故確率が低い結果が出る。
感覚だけではなくデータがドロー52枚積みを支持していることになる。

さて、ここで本題(タイトル)に戻ろう。
『ドロー5ゲー』とは何か。

単にドロー5を必要なタイミングまでに引いてこられない、
ドロー5事故が起こった状況のことではない。
ドロー5の枚数が同じであれば
事故率は自分も相手も同じであり、同じ条件であるからだ。

問題となるのは、
 一方が運良くドロー5を引くことができたのに対し、
 他方が運悪くドロー5を引くことができない状態が起こった時。
これが『ドロー5ゲー』である。
一方だけがドロー5の恩恵にあずかることができてしまったパターン、
と表現すればよいだろうか。

この事態が起こる確率は、
実はドロー5事故が起こる確率そのものよりもずっと高い。
ドロー5事故率が(お互い2枚ずつ積んでいるとして)24%ならば、
ドロー5ゲーが起こる確率は、

①自分がドロー5を引き、相手が引かない確率:0.76×0.24
②相手がドロー5を引き、自分が引かない確率:0.24×0.76
これらを合わせて、0.76×0.24×2≒0.36
※ゲーム特有の不可避な事故が起こる確率を p とするとき、
 その事故による不平等が発生する確率は 2p(1-p) となる。


なんと36%!3回に1回はドロー5ゲーが起こることになる。
これを高いと感じるか低いと感じるかはプレイヤーの感覚次第だが、
個人的にはやはり高すぎる数字と考えざるを得ないので、
ドロー5に依存したゲーム展開はどうにかしたいものだ。
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